Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica

P G

  Uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual.

  O termo constante da progressão geométrica é denominado razão (representado pela letra q)

  Exemplos de sequências, sendo uma P. G.

 (-4, -2, -1, -1/2,...) q = 1/2 (Crescente)

 (8, 4, 2, 1, 1/2,...) q = 1/2 (Decrescente)

 (8, 8, 8,...) q = 1 (Constante)

 (0, 0, 0, 0, 0,...) (Razão indeterminada), (infinitas razões)

 (3, -6, 12, -24, 48, -96,...) q = -2 (Oscilante) (Hora positivo outra negativo)

 (-1, 1/2, -1/4, 1/8, -1/16,...) q = -1/2 (Oscilante), (Razão Negativa)

 (8, 0, 0, 0,...) q = 0 (Quase nula)

  Se (a, b, c) é uma P. G.: b² = a*c

Fórmula do termo geral de uma PG

  Expressão capas de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica:

  Com base na expressão acima, temos:

 a_{1 =} a₁

 a_{2 =} a_1• q

 a_{3 =} a_1• q²

 a_{4 =} a_1• q³

 a_{10 =} a_1•q⁹

 a_{50 =} a_1• q⁴⁹

 a_{100 =} a_1•q⁹⁹

 Ex: Determine o 15º termo da PG (256, 128, 64, 32,...):

 a₁₅ = a₁• q¹⁴

 a₁₅ = 256 _•(1/2)¹⁴

 a₁₅ = 2⁸ _•2^-14

 a₁₅ = 2^-6₌  1/2^-6 = 1/64

Soma dos N termos de uma PG

  A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:

  Ex: Calcule a soma dos dez primeiros termos da PG (3, 6, 12...):

S₁₀ = 3.(2¹⁰-1)/2-1 

S₁₀ = 3.1023

              1

S₁₀= 3069

Soma dos infinitos termos de uma PG

   Para calcular os infinitos termos de uma PG usa-se a fórmula:

   Ex: Determine a soma dos infinitos termos da PG (5, 5/2,5/4,...):

   S=   5    =

               1-1/2

  S=  5  =

             1/2

  S=5•1/2= 10

                                                  EXERCICIOS

1. Encontre a razão da P.G. (a_n)_{n E IN*} tal que a₁ = 2 e a₅ = 162.

Resposta: q = 3 ou -3.

2. Interpole quatro meios geométricos entre 3 e 96, nessa ordem.

Resposta: (3, 6, 12, 24, 48, 96).

3. Qual é a soma dos dez primeiros termos da P.G. (2, -4, 8, -16, ...)?

Resposta: S₁₀=-682.

4. Qual é a soma dos infinitos termos da P.G. (32, 8, 2, ...)?

Resposta: S_n=128/3.