Geometria Espacial

Geometria Espacial

Introdução

Sabemos que a Matemática é a mais antiga das ciências e que a sua origem esconde-se nas areias das antigas civilizações egípcias। O estudo da geometria espacial pelos povos da mesopotâmia (região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Tigre e Eufrates) é datada desde, aproximadamente, dois mil anos antes de Cristo e todo o conhecimento que temos hoje se baseiam em documentos de denominamos papiros. Dentre os principais podemos citar o “papiro de Rhind” e o “papiro de Moscou”

Geometria Grega

Os gregos perceberam que os egípcios eram capazes de executarem cálculos e medidas de dimensionamento da terra e através destes conhecimentos assimilaram seus princípios empíricos, procurando encontrar demonstrações dedutivas rigorosas das leis acerca do espaço. A este conhecimento os gregos deram o nome de GEOMETRIA (medida da terra).
Alguns filósofos gregos, em particular Pitágoras e Platão, associavam o estudo da Geometria espacial ao estudo da metafísica e da religião, devido as formas abstratas que os sólidos apresentam.
A Geometria chega ao ápice na antiguidade com os denominados Geômetras Alexandrinos। Arquimedes com seus estudos sobre as esferas e o cilindro e Euclides com seu livro denominado de ELEMENTOS, onde sistematizava todos os conhecimentos acumulados até então pelo seu povo, fornecendo desta forma ordenação através de uma linguagem científica.

Papiro de Moscou

Pitágoras de Samos e Platão           

Discípulo de Thales de Mileto, Pitágoras foi responsável pelo estudo da Geometria (forma) com a Aritmética (número). Criou a escola Pitagórica, onde associava tudo existente na natureza com números(religião, música, etc.). Seu erro foi não acreditar na existência dos números irracionais, que ao serem descobertos levaram a decadência da sua doutrina. Na Geometria Espacial trabalhou um especial com o tetraedro, o cubo, o dodecaedro e a esfera. A “harmonia das esferas” era para os pitagóricos a origem de tudo.

Para Platão, a explicação de tudo, como tudo existia estava nos cinco sólidos perfeitos: o cubo(terra), o tetraedro(fogo), o octaedro(ar), o icosaedro(água) e o dodecaedro(elemento que permearia todo o Universo).
Os interesses pelos Poliedros e o estudo da Geometria Espacial, que era o assunto privilegiado entre matemáticos e filósofos gregos, parece ter ficado adormecido por mais de mil anos (Idade das Trevas), até despertar novamente o interesse dos pensadores durante os séculos que se seguiram o “Renascimento Italiano”.

Geometria Espacial da Idade Média

Depois de um longo tempo onde os estudos sobre Geometria Espacial ficaram estancados nas teorias da Geometria grega, foi durante o período denominado historicamente de “Renascimento” que ocorreu o resgate ao estudo de toda ciência adormecida até aquele momento. Diversos matemáticas como Leonardo Fibonacci (1170-1240) retomam os estudos sobre Geometria Espacial e em 1220 escreve a “Practica Geometriae”, uma coleção sobre Trigonometria e Geometria (abordagem nas teorias de Euclides e um análogo tridimensional do teorema de Pitágoras).
Em 1615 Joannes Kepler (1571-1630) rotula o “Steometria”(stereo-volume/metria-medida) o cálculo de volume. A palavra volume vem de volumen que é a propriedade de um barril (vinho, azeite,etc.) de rolar com facilidade.
No ano de 1637 surge a Geometria Analítica desenvolvida pelo filósofo e matemático francês René Descartes (1596-1650), misturando Álgebra e Geometria ensina a transformar pontos, retas e circunferências em números, demonstrando como fazer contas com as figuras geométricas. Em 1669 o físico Inglês Isaac Newton (1642-1727) desenvolve o cálculo diferencial e integral. Desta forma torna-se possível calcular a área e o volume de qualquer figura geométrica,independente de sua forma. Antes disso os cálculos se limitavam a descoberta de fórmulas diferentes para cada tipo de figura.

Geometria Espacial na Idade Contemporânea

Com o desenvolvimento da geometria projetiva e os novos meios de cálculos, abre-se caminho para novos campos de estudos para a geometria moderna. Este novo percurso nos estudos das formas geométricas analisa os sólidos de vários ângulos diferentes. Seu criador, o francês Jean Victor Poncelet ( 177- 1867 ) em 1822 demonstra seus raciocínios.Visto de ângulos diferentes, por exemplo, uma pirâmide pode aparecer como um triangulo ( vista de frente ) ou um quadrado (vista de cima ).
É no século XIX que a geometria passa pela maior reestruturação desde os seus estudos iniciais na Grécia Antiga. Até então todos os raciocínios estabelecidos eram alicerçados no postulados do grego Euclides e dos seus “ELEMENTOS”. É a chamada Geometria Euclidiana.
Foram necessários passar mais de 20 séculos para que Carl F.Gauss (1777-1855) verificar a não demonstrabilidade do quinto postulado e a possibilidade da construção de uma geometria não euclidiana. Na mesma época, o russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) e o húngaro Janos Boulay (1802-1860), trabalhando independentemente, constroem uma geometria na qual o postulado da paralela não vale mais. Em 1826 Lobachevsky cria a geometria não euclidiana, onde para os teoremas de Euclides serem válidos é desnecessário supor que só podemos construir uma paralela a uma outra reta passando por ponto fora desta reta. Em 1838 escreve “Novos Fundamentos da Geometria”, em 1840 “Investigações Geométricas Sobre a Teoria da Paralelas”e em 1855 “Pangeometria”.
No ano de 1854, Geog Friedrich Bernharo Riemann (1826-1866) escreve “Uber Die Hypothesen Welche der Goemetrie Zu Grunde Liegen” (Nas Hipóteses que Mentem a Fundação da Geometria), onde anos mais tarde seus resultados foram utilizados na teoria da relatividade de Albert Einstein.
Em 1899 a geometria passa pela reforma mais profunda desde sua criação. O alemão David Hilbert (1862-1943) faz uma análise geral de todas as novidades incorporadas à matemática dos séculos anteriores e a geometria é reescrita.
Após toda esta evolução geométrica, da geometria euclidiana, a geometria não euclidiana, novos conceitos de tempo, espaço foram alicerçados, como a teoria da relatividade do físico Albert Einstein.Em meados de 1970 a Teoria do Caos torna-se uma disciplina bem estruturada, onde diversos pesquisadores trabalham em aprimorá-la. Dentre eles o norte-americano Robert Stetson Shaw (1945- ). Desta teoria surge o estudo de certas figuras geométricas espaciais. Para exemplificar, podemos analisar uma árvore que de seu tronco geram dois ramos, que por sua vez em cada um deles, reparte-se em dois ramos menores e assim por diante, contendo cópias de si mesmo dentro dela recebem o nome de fractais.
O termo fractal provem da palavra latina “fractus”que significa descontínuo, irregular. Esta palavra foi escolhida pelo polonês Benoit Mandelbrot, em 1975, na sua pesquisa que levou a publicar o livro “Les Objects Fractales: Forme, Hasard et Dimension” (Os Objetos Fractais: Forma, Acaso e Dimensão). A principal novidade é a possibilidade de existirem dimensões espaciais fracionárias, com isso a teoria dos fractais descreve as formas da natureza que anteriormente não eram tratadas matematicamente como o formato de uma nuvem por exemplo. As geometrias tradicionais limitam-se a descrever apenas a superfície e curvas lisas, entretanto diversos elementos da natureza como as montanhas, as árvores entre outros possuem irregularidades, isto é, são fragmentadas.

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Volume de um prisma
O volume de um prisma é dado por:
V(prisma) = A(base).h

 Pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.
Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide
Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:
A(total) = A(lateral) + A(base)

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que

A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

Esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.
Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:
So = {x em R: x²=1} = {+1,-1}
Por exemplo, a esfera
S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }
é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.
Aplicação: volumes de líquidos
Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.
A superfície esférica
A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.
Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:
S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }
Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:
S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }
Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?
Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.
É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:
x² + y² + z² = R²
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:
x² + y² + z² < R² Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por: (x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R² e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que: (x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R² Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.
Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:
x=0, y² + z² = R2
sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.
Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.
Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e e A(total) será a área total.
Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos
Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por:

x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:
Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:
r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)
A região circular S de integração será descrita por x²+y².

Lançaremos mão de uma propriedades de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.
Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:
VC(d) = Pi d²(3R-d)/3
e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h:
VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3
Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:
V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3
que pode ser simplificada para:
V(h) = Pi h²(3R-h)/3
Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:
V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.
Elementos do cone
Em um cone, podem ser identificados vários elementos

Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.
Classificação do cone
Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação:

Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto:

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.
Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:
A(base) = pi r²
Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:
h = r
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:
V = (1/3) pi r3
Como a área lateral pode ser obtida por:
A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²
então a área total será dada por:
A(total) = 3 pi r²

Cilindro

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.

Aplicações práticas

Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro érfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.
A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.
Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:
Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".

Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".

Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.

Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.

Área total: É a medida da superfície total do cilindro.

Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Extensão do conceito de cilindro

As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.

Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.
Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificação dos cilindros circulares

Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.

Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.

Cilindro equilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de cilindro.

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.
V = A(base) h
Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:
V = pi r² h

Exercício:

Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e

b) e altura h.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base)A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo:

 Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r²A(base) = pi r²A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r²Volume =

A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Exercício:

Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.